Uvod

Istorijiski se do pojma integrala nije došlo, polazeći od pojma diferencijala. Čak, neko vreme, na početku razvoja integralnog računa nije se ni znalo, kakva veza postoji između ta dva pojma.

Kada se razmatra funkcija y = f ( x) definisana na nekom odsečku [a, b] .

Interval     [a, b] se  podeli   na         n          jednakih            delova  tako,     da         je  a = x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn = b , gde su   x1, x2 ,..., xn  krajevi  malih  intervala  koji  su  zadržani  u  intervalu [a, b] .(Jiang, 2017) Vrednosti funkcije  f ( x) na krajevima tih podintervala su: f (x1), f (x2 ), f (xn-1), f (xn ) .

Šta je proizvod f (x1)(x1 - x0 ) = f (x1)Dx ?

On se može interpretirati grafički u vidu pravougla koji se nalaz u preseku linija i to krive i odsečka koji ona zatvara sa dve prave koje idu iz odsečka x0 i x1. Uopšte

površina nekog i -tog pravougaonika je   f (xi )Dx (Roetzel et al. 2017) dok je površina svih nekakvih pravougaonika å f (xi ) ×Dx . Ta površina razlikuje se  od površine                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   i=1                                                                                                                                                                               slike oivičene krivom y = f (x) , x ose, te pravcima x = a i x = b za šrafirani deo (Graph 1).

Graph 1. Odsečak integralnog računa

Ovako posmatran integralni račun ima primenu i u određivanju distribucije nejednakosti dohotka stanovništva (Stanojević, Đorđević, Volf, 2017). u određenom vremenskom periodu, što je ujedno i predmet ovog rada.

Određeni integral

Kada se interval [a, b] podeli na veći broj pojedinačnih intervala x_i - x_i-1 = Dx, suma površina pravougaonika još manje će se razlikovati od površine te krivolinijske slike. Kad n ®¥, odnosno Dx ® 0, granična vrednost te sume lim f (x ) × Dx potpuno je jednaka površini između krive y = f (x) , pravca x = a i x = b , te x ose.

                                                                                                                                                         n®¥

Ona se označava sa 

ò f (x) dx  i naziva se odredenim integralom funkcije f (x) u granicama od a do b . Određeni integral je, dakle, granična vrednost sume površine parcijalnih pravougaonika. 

a

n

imamo åx² ×Dx = 2² + 3² = 13 . Ova površina razlikuje se za šrafirani deo od površine pod krivom y = x² (Graph 2).(Durand, Ellis, Christofides, 2016)

i=1

Graph 2. Određeni integral kvadratne funkcije n=2

U slučaju da se n poveća tako da sada iznosi n = 4 (slika 3), tada je

Dx = 1 i åx² ×Dx = (1,5² + 2² + 2,5² + 3² )× 1 = 10,75 .

2      i=1                                                                                     2

Površina je manja, dakle, bliža površini posmatranog krivolinijskog grafikona.

Graph 3. Određeni integral kvadratne funkcije n=4

Integralni račun i diferenciranje

U prethodnom delu smo prikazali kako se može koristiti određeni integral, ali pojavom diferenciranja sada smo u stanju da to uradimo mnogo brže i jednostavnije. Da se to pokaže vratimo se opštem problemu integracije i razmotrimo opet funkciju y = f (x) u intervalu [a,b] (Gupta, V., & Agrawal, D. 2018).

Može se zamisliti, da je površina A( x) opisana pomeranjem ordinate krive f (x) od tačke x = a do neke neodređene tačke x . Ako ordinata nastavi kretanje, tada će pomak  Dx  porasti za  DA(x) . (Spalević et al. 2016). Taj prirast površine zadovoljava ovu relaciju  y ×Dx < DA < ( y + Dy)×Dx , tj. manji je od površine opisanog, a veći od površine upisanog pravougaonika (Graph 4).

Ta nejednakost stoji samo za rastuće funkcije, kao što je ona na slici za opadajuće važi obrnuta nejednakost, gde znak < , prelazi u znak > . (Bartošová et al. 2015) Ako se ta nejednačina podeli sa Dx , dobija se

y < DA < y + Dy .

Dx

Graph 4. Prirast rastuće funkcije

Ako Dx ® 0, tada i Dy ® 0 , jer je kriva na slici 4 neprekidna, s tim u vezi je

y £ lim DA £ y , odakle je lim DA = y , što možemo pisati i ovako dA = y

Dx®0 Dx                          Dx®0 Dx                                                      dx

odnosno kao jednu diferencijalnu jednačinu. Ta jednačina rešava se, kao što je poznato,    na    sledeći    način:     dA = ydx ,     ili     dA( x) = f ( x)dx ,     odnosno

ò dA( x) = ò f ( x)dx , dakle A = ò f (x)dx = F (x) + C , gde je F ( x) jednostavna funkcija od f ( x) , tj. F '( x) = f ( x) .

 Kada je x = a , površina između a i x jednaka je nuli, odnosno A(a) = 0 tada se iz ovoga uslova može se odrediti konstanta C . U stvari, zamenimo li x = a u prethodnu jednačinu, imamo A(a) = F (a) + C , 0 = F (a) + C ,  C = -F (a) , i odatle   A( x) = F (x) - F (a) , A(b) = F (b) - F (a) , ò f (x)dx = F (b) - F (a) .

To znači, da je površina pod krivom y = f ( x) , u granicama od a do b jednaka razlici vrednosti jednostavne fankcije F ( x) u gornjoj odnosno donjoj granici. Da se pojednostavni označavanje, uvodi se oznaka: F (x) b = F (b) - F (a) .

Sada možemo izračunatii vrednost posmatrane površine iz prethodnog dela po navedenom obrascu formule gde dobijamo da je

Indeks koncentracije dohotka

Grafički izraz povezanosti kumulativnih procenata agregata dohotka sa kumulativnim procentima nosilaca dohotka je Lorencova kriva. (Maksimović et al. 2012) Pod agregatom dohotka podrazumeva se proizvod veličine dohotka i broja nosilaca tog dohotka (Rich, 2012).

Ova definicija Lorencove krive upućuje na to, kako se ona konstruiše. Najpre treba izračunati agregate dohotka, (Miljković et al. 2018). zatim izraziti agregate dohotka i brojeve nosilaca dohotka u procentima (od ukupnog dohotka, odnosno od broja svih nosilaca) nakon čega je potrebno te procente kumulirati i na kraju ih grafički prikazati (Petrov et al. 2018). Ovaj postupak ćemo prikazati na našem primeru ove distribucije, date u Tabeli 1.

Tabela 1. Distribucija dohodaka u R. Srbiji

Izvor: Istraživanje autora

Prve tri kolone zauzimaju apsolutni brojevi (visine dohotka, nosilaca i agregata dohotka). Podaci iz 2. i 3. kolone prikazani su u procentima u 4. odnosno 5. koloni. Preostale dve kolone donose kumulativne nizove tih procenata. Ova dva poslednja niza jasno ukazuju na nejednakosti razmatrane distribucije. Iz njih čitamo da na 10% primalaca sa nižim dohotkom otpada samo 4% dohotka, a na prvih 70% primalaca svega 52% ukupnog dohotka.

Lorencova kriva se prikazuje u pravouglom koordinatnom sistemu tako, da se na osu apscise nanose kumulativni procenti nosilaca dohotka (Jeremić et al. 2017), a na osu ordinate kumulativni procenti agregata dohotka (Graph 5).

Graph 5. Lorencova kriva dohodaka

Na prikazanom grafiu su dve krive - empirijska Lorencova kriva koja spaja tačke (0, 0) , (0,10; 0,04) , (0,70; 0,52) , i (1, 1) , i izravnata Lorencova kriva. Ova poslednja   ima    jednačinu    y = 0,990x² + 0,053x - 0,005 ,    koja    je    određena metodom najmanjih kvadrata.

Sad ćemo pokazati, kako se iz svake od prikazanih krivih računa indeks koncentracije dohotka. Indeks koncentracije jednak je odnosu površine između Lorencove krive i pravca  jednakosti  prema  površini  trougla  u kome se nalazi ta kriva. Kako je površina tog trougla jednaka uvek veća ili najviše jednaka površini, koju zatvara Lorencova kriva sa pravcem jednake polovine, indeks koncentracije je broj iz intervala [0,1].

Zaključak

Možemo zaključiti da je to je prikazana kriva distribucije dohodaka rastuća kriva, konkavna prema dijagonali. Dijagonalni pravac prikazane krive pokazuje jednaku raspodelu dohodaka. Što je kriva neke raspodele dohotka konkavnija prema tom pravcu, jača je koncentracija dohotka prema vrhu distribucije, odnosno kod nosilaca sa najvećim dohotkom.

Maksimalnoj  koncentraciji  dohotka  kod  gornjeg  sloja  primalaca  odgovara Lorencova kriva koja se pruža od koordinatnog početka (0,0) po x osi do tačke (1,0) , gde ima rast od 1. Ta stepenasta, neopadajuća kriva maksimalne koncentracije egzistira kako možemo videti samo u teoriji. Što znači da njena egzistencija označava, ne postojanje raspodele. Ona je ustupila mesto potpunoj koncentraciji - jedno lice nosi ceo dohodak.